求曲面某点的法向量

发表于 更新于 本文字数： 710 阅读时长 ≈ 3 分钟

# 微积分
### 求曲面某点的法向量

求曲面某点的切平面涉及曲面在该点的微分性质。以下是求曲面某点切平面的基本步骤：

  1. 确定曲面方程：首先，我们需要知道曲面的数学方程。例如，曲面可能由函数 \(z = f(x, y)\) 定义。

  2. 计算偏导数：为了找到切平面，我们需要计算曲面方程关于 \(x\) 和 \(y\) 的偏导数。对于函数 \(z = f(x, y)\)，偏导数分别是 \(f_x(x, y)\) 和 \(f_y(x, y)\)。

  3. 计算切向量：在曲面上的任意点 \((x_0, y_0, z_0)\)，切向量是 \(\mathbf{T} = \left\langle f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0), -1 \right\rangle\)。注意，这里的 \(-1\) 是因为我们是通过 \(z\) 轴来看曲面的。

  4. 确定切平面方程：切平面通过点 \((x_0, y_0, z_0)\) 并且与切向量 \(\mathbf{T}\) 垂直。因此，切平面的法向量也是 \(\mathbf{T}\)。使用点法式方程，切平面方程可以表示为：

    \[ f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) - (z - z_0) = 0 \]

  5. 验证：为了验证答案，你可以检查这个平面是否确实在曲面上通过点 \((x_0, y_0, z_0)\) 并且与曲面在该点相切。

以上步骤提供了一种通用方法来找到曲面在某点的切平面。请注意，这些步骤假设曲面是光滑的，即偏导数在所需点处存在。如果曲面在某点处不光滑，那么这些步骤可能不适用。

Reference