两小时速通线代
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两小时速通线代
行列式
行列式的基本性质
行列式的定义
行列式的性质
行/列变换
交换行
符号变
行列式为0
- 两行两列成比例
行列式和方程组的关系
方程组
齐次常数项全为0
一组0解
有零解与非0解
常数项不为0
只有一组非零解
有多个解或者无解
解
行列式的基本计算
求值
二阶
- 对角线相乘再相减
三阶
- 可以通过辅助行列式法计算
高阶行列式
通法
变成左上三角式子
- 一列列按照顺序消除
变完之后
- 主对角线相乘
行列式的转置
数值相等
行列式的倍乘
数字*行列式
某一行或者某一列进行乘除
区别于 [[#矩阵的倍乘]]
相当于提出只要一行提出
行列式的拆分
只拆其中的一行或者一列
其他的保持不变
行列式的展开
- 所有的数乘以其的代数余子式之和
行列式的计算技巧
特殊行列式的计算
求X^k项的系数
利用行列式的展开
处理办法
1.移动化简
将x移动到对角线处
- 子主题 1
其余的全为常数项
2.求解
那么x项只在对角线上存在
将对角线相乘即可得到所有含x项的展开式
某行为两项相加减的时候，行列式可以拆成两个行列式相加减
常见题型
求行列式的值
多个A或者M相相加减
将给的行列式按照所需求和的式子进行改造
然后求行列式的值
给定方程组判断是否有解
方程组
齐次(无二次项)
一组0解
有零解与非0解
不齐次
只有一组非零解
有多个解或者无解
矩阵
矩阵的基本性质
定义
n*m
矩阵是一个数表
- 用于展示统计信息
也可以理解为几个向量组成的组
属性
- 秩
特殊的矩阵
0矩阵
方阵
单位矩阵
定义
只有对角线是1的式子
性质
- 乘完不变
对角矩阵
- 对角矩阵一定是方阵
矩阵的基本运算
矩阵的计算
加减
相同大小
对应着加就ok
数乘
- 数字乘到每个元素里面
乘法
前行乘后列
定行乘列
运算法则
注意左乘与右乘的区别
矩阵没有除法
矩阵的变换
矩阵的初等变换
分类
行的互换
行乘
行减
特点
转换后不相等
不可以行列同时互换
- 一般来说只进行行之间的变化
转置
转置再转置等于没转
数乘可以直接提出来
乘法转置后前后改变
tips
优先宽的乘窄的
前行乘后列
越乘越小
矩阵的行列式
伴随矩阵
每一项是原来的代数余子式
不过要注意沿着对角线对称了
矩阵的逆
可逆
条件一
- 为方阵
条件二
存在矩阵B使得
或者|A|不等于0
求逆矩阵
方法
方法一
换行
行上乘
行上相互加减
方法二
逆矩阵的运算
数字要倒过来
只有乘法才能拆括号
使用逆做运算的时候需要注意
- 需要注意左乘和右乘的区别
抽象矩阵的计算
- 严格套公式
分块矩阵
基本运算
Am阶，Bn阶
基本变换
只要在主对角线上，其余位置都是0就可以
在副对角线上，要进行取反
对角矩阵
- 对角矩阵的逆和次方直接取得
求数列的秩
每一行的0都比上一行多
0靠左
最后有几行非0的数
- 秩就是几
向量组
求向量组的秩
向量组的线性相关性
其实就是r<n
- 线性相关
求向量组的极大线性无关组
向量空间
对于一个向量空间有
对于数乘封闭
对于加法也封闭
封闭
- 处理玩之后还在这个向量空间里面
A到B的过渡矩阵C
AC=B
矩阵与方程组
线性方程组的增广矩阵
- 其实就是把常数项的结果也给写进来
行标准型矩阵
阶梯状，且台阶的上方要为0
只需要一列列减过去就好了
方程式的通解
可以理解为基础解系按照k1,k2,k3的重新分配
基础解系怎么求
分别令一个K等于1，其他的k=0
有几个k？
根据秩来判定
秩为多少就是几个k
方程式的解与矩阵的关系
原秩阵和增广矩阵的秩
可以简单理解为可动性和限制度的比较
x代表着可动性
即原矩阵的r1
式子的数目代表着约束性
即矩阵的阶数
即增广矩阵的r2
当约束>可动性的时候
- 无解
当约束等于可动性的时候
- 有唯一解
当约束小于可动性的时候
有两穷解
两个式子描述三个未知数是没有唯一解的
向量与方程组
将方程组表示为矩阵相乘
A
- 系数矩阵
（A，β）
- 增广矩阵
β = 0
齐次线性方程组
有一个零解
和一个
给定方程组判断是否有解
方程组
齐次(无二次项)
一组0解
有零解与非0解
不齐次
只有一组非零解
有多个解或者无解
行最简型矩阵
行阶梯型
- 每级阶梯只占一行
每级阶梯第一个元素为1
- 该元素所在列其余元素全为0
使用矩阵解方程
线性齐次方程组
将A化为行最简矩阵
将其还原为方程组形式
用部分未知数表示其他未知数
所有的解包括在这样张出来的一个系上
K1，K2为任意值
基础解系
- K后面乘的向量
秩
线性非齐次方程组
增广矩阵
- 变为行最简型矩阵
还原回原来的方程组
用部分未知数表示已知数
- 会包含常数
写出方程的解
后面会有一部分常数项
- 即由通解和本身的值组成
向量空间
定义
向量集
- 非空
对于加法和乘法封闭
即a+b属于向量集
λa属于向量集
空间向量的基
过度矩阵
A*C = B
- C为A到B的过渡矩阵
向量组的线性表示和线性相关性
向量组的线性表示
β能由x1，x2，x3线性表示
等同于这个方程有解
- 非齐次线性方程组
代数上
β由【A的列向量组线性表示】的系数数值上就是AX=β的解
如何用这个通解写出表达式？
- 直接乘回去就好了
几何上
即β在向量组A张成的空间内
只要不是满秩j
即阶梯式没有全0的行
- 那么就线性无关
线性相关性
向量组自身的性质
向量组A中的向量相关
代数上
AX=0有不全为0的解
- 实际上就是解的系数不全为0
有非零解
几何上
- x1,x2,x3在同一低一维的空间内
相关定理
x1,x2线性无关
x1,x2,x3线性相关
- x3能x1,x2线性表示
- 当m>n时，m个n维向量一定线性相关
- 二维向量的活动范围在平面内
- m个向量要求向量在（m-1）维空间内
向量组与矩阵的秩
向量组的秩与最大无关组
在向量组A中
有【r个向量组成的部分组Ar】成线性无关
所有【r+1个向量组成的部分组（若存在）】成线性相关
- 即，A中任意向量都能由Ar线性表示
则Ar为最大无关组
- 最大无关组确定了向量组张成的空间的维数
向量组的秩为r
就是向量组的等级
实际上指的就是向量组构成的空间的维数
求数列的秩
每一行的0都比上一行多
0靠左
最后有几行非0的数
- 秩就是几
向量组的线性相关性与行列式的关系
将行列式看作是列向量
行列式的值其实是列向量张成的面积
向量共线
向量组线性相关
- 行列式的值为0
向量不共线
向量组线性无关
- 行列式的值不为0
矩阵的秩和最高非0子式
在矩阵中
有【r阶子式Dr】不为0
所有【r+1阶子式（如果存在）】全为0
等价于
r(A) = r
Dr为A的一个最高阶非0子式
什么是子式
任取n行任取n列
- 取出交叉的元素构成的行列式
我们会发现一件事情
向量组线性相关 = 矩阵线性相关 = 矩阵的子式等于0
最大无关组
行阶梯式
- 每级阶梯第一个非0元素所在列
用最大无关组表示其他的变量
最简行阶梯式
解方程
带回去
最高阶非0子式
就是最大无关组所在位置的原矩阵
且要求结果不为0
- 其实就是行列式经过变换之后相同的行不能同时取
判断向量组的解的情况
给定方程组判断是否有解
方程组
齐次Ax=0
一组0解
有零解与非0解
不齐次Ax = β
只有一组非零解
有多个解或者无解
齐次方程组
等价
Ax=0有非0解
A的列向量组成线性相关
r(A)<n
当m=n的时候
- |A| = 0
等价
Ax=0无非0解
A的列向量组成线性无关
r(A)=n
当m=n的时候
- |A| != 0
非齐次线性方程组
只有唯一解
等价
β能由A的列向量表示且表示式唯一
r(A,β) = r(A) = n
n=m时
- |A| != 0
有无穷解
β能由A的列向量表示且表示式不唯一
r(A,β) = r(A) < n
n=m时
- |A| = 0
无解
β不能由A的列向量表示
r(A,β) = r(A) +1
- 不能被线性表示
n=m时
- |A| = 0
相似矩阵与二次型
方阵相似对角化
相似矩阵
定义
存在P
- P是什么？
AB相似则特征值相同
证明
无法反推
- 特征值相同可以不相似
解题技巧
AB相似
特征值相同
![[#特征值的性质]]
相似对角化
对于任意一个方阵A
都一定会会有一个对角矩阵Λ与其相似
其中Λ上对角线上的元素一定是A的特征值
Λ上的每一列其实就是A的特征向量
对称矩阵的相似对角化
前置信息
正交矩阵
(A·B) = 0
实际上就是垂直
内积
其实就是高中学过的数量积
对应位置先相乘后相加
模
||α||
- 线性代数里面这么写
实际上就是向量的长度
定义
性质
- 正交矩阵 的 列向量 都是 单位向量 且 两两正交
正交
对称矩阵
对称矩阵不同特征值对应的特征向量两两正交
对称矩阵的相似对角化
定义
步骤
1.求A特征值
2.求A分别对应于λ1，λ2，λ3的线性无关的特征向量α1，α2，α3
3.将特征向量正交化
将α1，α2正交化
β1 = α1
4.单位化
- 除以它们各自的模
注意特征值和特征向量一一对应
二次型
定义
- 每一项都是二次项的多元函数
分类
标准型
特点
只有二次项
没有混合项
系数
特点
标准型
对角线的值在1，0之间
正定二次型
定义
- 任意x>0，都有f>0
等价定义
f的标准型的系数全为+
A的特征值全为+
序数主子式 &&矩阵的行列式的值 > 0
一般使用主子式进行判断
顺序主子式
一阶顺序主子式
- 左上角的值
二阶顺序主子式
- 左上角的那个正方形
……
n阶顺序主子式
- 就是矩阵的值本身
全部的顺序主子式>0
二次型的矩阵
步骤
先写平方项的系数
再写交叉项的系数的一半
- 分别写在主对角线的两边
特点
- 一定是对称矩阵
化二次型为标准形
将二次型转化为标准型
方法
正交变换法
寻找矩阵Q = （k1,k2,k3）
使得将x代换为QY之后，转化为标准型
特点
λ1，λ2，λ3
- A的特征值
k1，k2，k3
A分别对应λ1，λ2，λ3的
两两正交的特征向量
方阵的特征值和特征向量
定义
对于A
存在数字λ，非零列向量X
AX = λX
λ为A的特征值
X为A的特征向量
- 特征向量不为0
（A-λE ）X=0
实际上就是这个方程有非0解
|A-λE| = 0
直接进行计算即可
使用基础解系
- 凑
特征值的性质
特征值的和=A的主对角线的和(迹)
特征值的乘积 = A的行列式的值
- |A| = 0 的时候，0一定为A的特征值
特征值的基本变换
与A有关的方阵的特征值（特征值简单记为a）
a
ka
a+k
a^n
1/a
|A|/a
X
x
x
x
x
x
解题技巧
利用特征值的性质
特征值的和=A的主对角线乘积
特征值的乘积 = A的行列式的值
- |A| = 0 的时候，0一定为A的特征值
求特征值和特征向量
- 特征值和特征向量一一对应
求转换过的特征值
- ![[#特征值的基本变换]]